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九年级上册上数学知识点总结14九上数学常考圆的种辅助线作法
初三(九年级)数学知识点总结
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资料介绍
9年级数学上册知识点
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九上数学：常考圆的
14
种辅助线作法
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1
．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
【作用】
①利用垂径定理；
②圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
【例题】
如图，在以
O
为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
AB
交小圆于
C
、
D
二点。求证：
AC=BD
证明：过
O
作
OE
⊥
AB
于
E
，则
OE
⊥
CD
，
∵
OE
过
O
，
∴由垂径定理得：
AE=BE
，
CE=DE
，
∴
AE-CE=BE-DE
，即
AC=BD
．
2
．遇到
90
度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点
【作用】
利用圆周角的性质，可得到直径。
【例题】
如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
BCA=90o
，以
BC
为直径的⊙
O
交
AB
于
E,D
为
AC
中点，连
结
BD
交⊙
O
于
F
。求证：
BC/BE=CF/EF
证明：连接
CE
．
∵
BC
为⊙
O
的直径，
∴∠
BFC
为
90
°，∠
BEC
为
90
°．
又∵∠
ACB
＝
90
°，
∴∠
ECB=
∠
BAC.
∵∠
ECB=
∠
BAC
，∠
EFB=
∠
ECB
，
∴∠
BAC=
∠
EFB.
∵∠
BAC=
∠
EFB
，∠
ABD
公用，
∴△
BEF
∽△
BDA.
∴
EF/BE=AD/BD.
∵∠
BFC=
∠
ACB=90
°，∠
CBD
公用，
∴△
CBF
∽△
DBC.
∴
CDBD=CFBC.
∵
D
为
AC
中点，
∴
AD=CD
，
∴
EF/BE=CF/BC.
∴
BC/BE=CF/EF.
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．遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角
【作用】
利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
4.
遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
【作用】
①可得等腰三角形；
②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5.
遇到有切线时
①添加过切点的半径（连接圆心和切点）
【作用】
利用切线的性质定理可得
OA
⊥
AB
，得到直角或直角三角形。
②添加连结圆上一点和切点
【作用】
可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6.
遇到证明某一直线是圆的切线时
（
1
）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
【作用】
若
OA=r
，则
l
为切线。
（
2
）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）
【作用】
只需证
OA
⊥
l
，则
l
为切线。
（
3
）若遇到圆上或圆外一点作圆的切线。
7.
遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
【作用】
据切线长及其它性质，可得到
①角、线段的等量关系；
②垂直关系；
③全等、相似三角形。
8
．遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段
【作用】
利用内心的性质，可得
①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②内心到三角形三条边的距离相等。
9
．遇到三角形的外接圆时
连结外心和各顶点
【作用】
外心到三角形各顶点的距离相等。
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．遇到两圆外离时
（解决有关两圆的外、内公切线的问题）
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。
【作用】
①利用切线的性质；
②利用解直角三角形的有关知识。
11
．遇到两圆相交时
常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等
【作用】
①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；
②利用圆内接四边形的性质；
③利用两圆公共的圆周的性质；
④垂径定理。
12
．遇到两圆相切时
常常作连心线、公切线
【作用】
①利用连心线性质；
②切线性质等。
13
．遇到三个圆两两外切时
常常作每两个圆的连心线
【作用】
可利用连心线性质。
14
．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时
常常添加辅助圆
【作用】
以便利用圆的性质。