九年级上册人教九上数学知识点总结

21.1 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

   

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2

（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

1

只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。

（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可

以直接开平方。一般地，对于形如 x

2

=a(a≥0)的方程，根据平方根的定

知识点二 一元二次方程的一般形式

一般形式：ax

2

+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中，

ax

2

是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

知识点三 一元二次方程的根

   

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做

一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2 降次——解一元二次方程

21.2.1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

义

可解得 x

1

=

a

,x

2

=

a



.

（2） 直接开平方法适用于解形如 x

2

=p 或(mx+a)

2

=p(m≠0)形式的方程，如果 p

≥0，就可以利用直接开平方法。

（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数

的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有

未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两

个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

【人教版】九年级（上册）数学知识点总结

第１页，共１６页

公众号：瑾言教育资料库

（1） 把常数项移到等号的右边

知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降

次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

；

⑵方程两边都除以二次项系数；

⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷

若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

（1） 一般地，对于一元二次方程 ax

2

+bx+c=0(a≠0)，如果 b

2

-4ac≥0，那么方

程的两个根为 x=

a

ac

b

b

2

4

2







，这个公式叫做一元二次方程的求根公

式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方

程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次

方程 ax

2

+bx+c=0(a≠0)的过程。

（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

1

方程化为一般形式：ax

2

+bx+c=0(a≠0)，一般 a 化为正值

②确定公式中

a,b,c 的值，注意符号；

③求出 b

2

-4ac 的值；

④若 b

2

-4ac≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即

可求解，若 b

2

-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二 一元二次方程根的判别式

式子 b

2

-4ac 叫做方程 ax

2

+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，

即△=b

2

-4ac.

△＞0，方程 ax

2

+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

一元二次方程

△=0，方程 ax

2

+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根

根的判别式

△＜0，方程 ax

2

+bx+c=0(a≠0)无实数根

第２页，共１６页

公众号：瑾言教育资料库

知识点一 因式分解法解一元二次方程

（1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而

转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2） 因式分解法的详细步骤：

1

移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0；

2

把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和

完全平方公式；

3

令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

4

解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程

方法名称

理论依据

适用范围

直接开平方

法

平方根的意义

形如 x

2

=p 或（mx+n）

2

=p(p≥0)

配方法

完全平方公式

所有一元二次方程

公式法

配方法

所有一元二次方程

因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或

b=0

一边为 0，另一边易于分解成两

个一次因式的积的一元二次方

程。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程 x

2

+px+q=0 的两个根为 x

1

,x

2

,则有 x

1

+x

2

=-p,x

1

x

2

=q.

若一元二次方程 a

2

x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x

1

,x

2

,则有 x

1

+x

2

=，

a

b



,x

1

x

2

=

a

c

22.3 实际问题与一元二次方程

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它

们之间的等量关系。

（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。

（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的

21.2．3 因式分解法

第３页，共１６页

公众号：瑾言教育资料库