九年级上册上数学知识点总结_1

湘教版

九年级上册数学

知识点总结

第一章

反比例函数

（一）反比例函数

  1

．

（

）可以写成

（

）的形式，注意自变量

x

的指数为

，

在解决有关自变

量指数问题时应特别注意系数

这一限制条件；

 2

．

（

）也可以写成

xy=k

的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中

的

k

，从而

得到反比例函数的解析式；

（二）反比例函数的图象与性质

1

．函数解析式：

（

）

2

．自变量的取值范围：

3

．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量

x

的取值

不能为

0

，

且

x

应对称取点（关于原点对称）．

（

1

）图象的形状：双曲线

弯曲度越大．

（

2

）图象的位置和性质：自变量

双曲线的渐近线．

当

小；

当

大．

（

3

）对称性：图象关于原点对称，若（

a

，

b

）在双曲线的一支上，（

线的另一支上．

图象关于直线

）在

对称，即若（

a

，

b

）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（

，

，

）在双曲

时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，

y

随

x

的增大而增

时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，

y

随

x

的增大而减

，函数图象与

x

轴、

y

轴无交点

，

两条坐标轴是

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的

第１页，共１０页

双曲线的另一支上．

4

．

k

的几

何意义

:

如图

1

，设点

P

（

a

，

b

）是双曲线

上

任意一点，作

积是 （三角

PA

⊥

x

轴于

A

点，

PB

⊥

y

轴于

B

点，则矩形

PBOA

的面

形

PAO

和三角形

PBO

的面积都是

）．

如图

2

，

由双曲线的对称性可知，

P

关于原点的对称点

Q

也在双曲线上，作

QC

⊥

PA

的延长线于

C

，

则有三角形

PQC

的面积为

．

图

1

图

2

   5

．说明：

（

1

）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨

论，不能一概而论．（

2

）直线

没有交点；当

与双曲线

的关系：当

时，两图象

时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（三）反比例函数的应用

1

、求函数解析式的方法：（

1

）待定系数法；（

2

）根据实际意义列函数解析式．

2

、反比例函数与一次函数的联系．

    3

、充分利用数形结合的思想解决问题．

第二章

一元二次方程

（一）一元二次方程

1

、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为

ax

2



bx



c



0

（

a

、

b

、

c

为常 数，

      a

≠

0

）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

   2

、把

ax

2



bx



c



0

（

a

、

b

、

c

为常数，

a

≠

0

）称为一元二次方程的一般式，

a

为二次项

系数；

b

为一次项系数；

c

为常数项（包括符号）。

（二）一元二次方程的解法

1

、直接开平方法：

如果方程化成

如果方程能化成

根。

的形式，那么可得

 (

p≥0)

的形式，那么

；

进而得出方程的

第２页，共１０页

   2

、配方法：配方式

基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成

1

；③把常

数项移到方程

的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一

个完全平方式，

右边化为一个常数；两边开方求其根。



b



b

2



4

ac

     3

、公式法

x



（注意在找

a

、

b

、

c

时须先把方程化为一般形式）

2

a

     4

、分解因式法 把方程的一边变成

0

，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要

包括“提公因式”

和“十字相乘”）

（三）一元二次方程根的判别式

判别式⊿

=b -4ac

与根的关系：

2

当

b -4ac>0

时，则方程有两个不等的实数根；

当

b2-4ac=0

时，则方程有两个相等的实数根；

2

当

b -4ac

≥

0

时，则方程有两个实数根；

2

当

b -4ac<0

时，则方程无实数根

（，上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数

a

≠

0

）

2

（四）一元二次方程根与系数的关系：

1

、根与系数关系：如果一元二次方程

ax

2



bx



c



0

的两根分别为

x

1

、

x

2

，

则有：

b

x



x

 

,

1

2

a

x

1



x

2



c

.

（韦达定理）

a

2

、一元二次方程的两根与系数的关系的作用：
（

1

）已知方程的一根，求另一根；

（

2

）不解方程，求二次方程的根

x

1

、

x

2

的对称代数式的值，特别注意以下公式：

①

2

x

1

2



x

2



(

x

1



x

2

)

2



2

x

1

x

2

②

1

1

x

1



x

2





x

1

x

2

x

1

x

2

③

(

x

1



x

2

)

2



(

x

1



x

2

)

2



4

x

1

x

2

④

|

x

1



x

2

|



(

x

1



x

2

)

2



4

x

1

x

2

⑤

(|

x

1

|



|

x

2

|)

2



(

x

1



x

2

)

2



2

x

1

x

2



2 |

x

1

x

2

|

3

3

3

⑥

x

1



x

2



(

x

1



x

2

)



3

x

1

x

2

(

x

1



x

2

)

⑦其他能用

x

1



x

2

或

x

1

x

2

表达的代数式。

（

3

）已知方程的两根

x

1

、

x

2

，可以构造一元二次方程：

x

2



(

x



x

2

)

x



x

1

x

2



0

，

1

（

4

）已知两数

x

1

、

x

2

的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程

x

2



(

x

1



x

2

)

x



x

1

x

2



0

的两根。

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