21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

第21章　一元二次方程

21.2　解一元二次方程

21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题

1.设x₁，x₂是一元二次方程x²-2x-3=0的两个根，则x₁+x₂的值为（　　）

A.-2 B.-3 C.2 D.3

2.已知2是关于x的一元二次方程x²-6x+c=0的一个根，则另一个根是（　　）

A.2 B.3 C.4 D.8

3.已知关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，则（　　）

A.x₁+x₂<0 B.x₁x₂<0 C.x₁x₂>-1 D.x₁x₂<1

4.已知关于x的一元二次方程x²-kx+k-3=0的两个实数根分别为x₁，x₂，且=5，则k的值是（　　）

A.-2 B.2 C.-1 D.1

5.在解一元二次方程x²+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根分别是-3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根分别是5，-4，则原来的方程是（　　）

A.x²+2x-3=0 B.x²+2x-20=0 C.x²-2x-20=0 D.x²-2x-3=0

二、填空题

6.已知实数x₁，x₂是方程x²+x-1=0的两根，则x₁x₂=　　　　. 

7.已知m，n是一元二次方程x²-3x-2=0的两个根，则=　　　　. 

8.若一元二次方程x²+2x-2 025=0的两个根分别为m，n，则代数式m²+3m+n的值为　　　　. 

三、解答题

9.已知方程x²-3x+1=0的两个根分别为x₁和x₂，不解方程，求下列各式的值：

（1）（x₁-1）（x₂-1）； （2）.

10.已知关于x的一元二次方程x²+（2-m）x+1-m=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若m<0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值.

第21章　一元二次方程

21.2　解一元二次方程

21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

答案全解全析

1.答案　C　在一元二次方程x²-2x-3=0中，a=1，b=-2，∴x₁+x₂=-=2.故选C.

2.答案　C　设方程的另一个根是x₁，∵2是关于x的一元二次方程x²-6x+c=0的一个根，∴2+x₁=6，∴x₁=4，∴该方程的另一个根是4.故选C.

3.答案　D　根据题意得x₁+x₂=2，Δ=（-2）²-4m>0，解得m<1，所以x₁x₂=m<1.故选D.

4.答案　D　∵关于x的一元二次方程x²-kx+k-3=0的两个实数根分别为x₁，x₂，∴x₁+x₂=k，x₁x₂=k-3.∵=5，∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，∴k²-2（k-3）=5，整理得k²-2k+1=0，解得k₁=k₂=1.故选D.

5.答案　B　设此方程的两个根分别是α，β，根据题意得α+β=-p=-3+1=-2，αβ=q=5×（-4）=-20，∴p=2，∴以α，β为根的一元二次方程是x²+2x-20=0.故选B.

6.答案　-1

解析　∵方程x²+x-1=0中的a=1，c=-1，∴x₁x₂==-1.

7.答案　-

解析　∵m，n是一元二次方程x²-3x-2=0的两个根，∴m+n=3，mn=-2，∴.

8.答案　2 023

解析　∵一元二次方程x²+2x-2 025=0的两根分别为m，n，∴m+n=-2，m²+2m-2 025=0，即m²+2m=2 025，∴m²+3m+n=m²+2m+m+n=2 025-2=2 023.

9.解析　（1）由题意知x₁+x₂=3，x₁x₂=1.

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