九年级上册次方程的根与系数的关系同步练习上数学一课一练3二苏科元

第1章　一元二次方程

^*1.3　一元二次方程的根与系数的关系

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知识点　一元二次方程根与系数的关系

1.(2021江苏盐城中考)设x₁、x₂是一元二次方程x²-2x-3=0的两个根，则x₁+x₂的值为(　　)

A.-2 B.-3 C.2 D.3

2.一个三角形的一边长是5，另外两边长分别是一个一元二次方程两根的和与两根的积，则这个一元二次方程可能是(　　)

A.x²-3x+2=0 B.x²+8x+16=0 C.2x²-19x+24=0 D.2x²+6x+5=0

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3.(2021江苏南通中考)若m，n是一元二次方程x²+3x-1=0的两个实数根，则的值为　　　　. 

4.(2020江苏无锡中考)已知关于x的方程4x²+4mx+2m-1=0(m为实数).

(1)求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；

(2)设x₁，x₂是该方程的两个实数根，求证：x₁+x₂+m=0.

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5.(1)用配方法解一元二次方程除了课本中的方法，也可以用下面的配方方式：将ax²+bx+c=0(a≠0)的两边同时乘4a并移项，得4a²x²+4abx=-4ac，两边再同时加上b²，得(2ax+b)²=b²-4ac.请用这样的方法解方程：3x²+5x+1=0.

(2)华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于x²+bx+c=0，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：x²+bx+c=(x-m)(x-n)=0(从这里可以看出方程的解为x₁=m，x₂=n)，即x²+bx+c=x²-(m+n)x+mn，因为m+n=-b，所以m、n的平均数为-，不妨设m=-+p，n=--p，利用x₁·x₂=mn，得=c，所以-p²=c，即能求出p的值.举例如下：解一元二次方程x²-2x-4=0，由于-=1，所以方程的两个根为1±p，而1²-p²=-4，∴p=±，所以方程的解为x₁=1+，x₂=1-.请运用以上方法解下列方程：①x²-2x-4=0；

②3x²-=0.

第1章　一元二次方程

^*1.3　一元二次方程的根与系数的关系

答案全解全析

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1.C　由题意得x₁+x₂=-=2.故选C.

2.C　x²-3x+2=0的两根之和是3，两根之积是2，2+3=5，构不成三角形，故A错误；x²+8x+16=0的两根之和是-8，因为三角形的边长是正数，所以不合题意，故B错误；2x²-19x+24=0的两根之和是9.5，两根之积是12，因为5+9.5>12，所以9.5、5、12能构成三角形，故C正确；2x²+6x+5=0中，因为Δ=6²-4×2×5=36-40=-4<0，所以该方程无实数解，故D错误.故选C.

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3.答案  3

解析　易知0不是方程x²+3x-1=0的解，∴m，n均不为0.∵m，n是一元二次方程x²+3x-1=0的两个实数根，∴m²+3m-1=0，m+n=-3，∴3m-1=-m²，

∴=3，故答案为3.

4.证明　(1)∵a=4，b=4m，c=2m-1，

∴Δ=b²-4ac=(4m)²-4×4(2m-1)=16(m-1)²≥0，∴方程恒有两个实数根.

(2)∵x₁，x₂是该方程的两个实数根，∴x₁+x₂=-=-m，∴x₁+x₂+m=0.

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5.解析　(1)方程3x²+5x+1=0中，a=3，b=5，

∴4a=4×3=12，b²=5²=25，3x²+5x+1=0的两边同时乘12并移项得36x²+60x=-12，两边再同时加上25，得36x²+60x+25=-12+25，

∴(6x+5)²=13，∴6x+5=±，

∴x₁=，x₂=.

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