专题27 以相似为载体的几何综合问题

专题27 以相似为载体的几何综合问题

典例剖析

【例1】(2022·四川内江·中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．

(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；

(2)若＝2，求的值；

(3)若MN∥BE，求的值．

【例2】(2022·贵州铜仁·中考真题)如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．

(1)问题解决：如图①，若AB//CD，求证：

(2)探索推广：如图②，若与不平行，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．

【例3】(2022·内蒙古包头·中考真题)如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．

(1)如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．

①若，求的长；

②在满足①的条件下，若，求证：；

(2)如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．

【例4】(2022·江苏泰州·中考真题)已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.

(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；

(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.

【例5】(2022·湖南岳阳·中考真题)如图，和的顶点重合，，，，．

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；

(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．

满分训练

1．(2022·江苏镇江·中考真题)已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．

(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；

(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；

(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．

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