专题22 二次函数与新定义综合问题

专题22 二次函数与新定义综合问题

典例剖析

【例1】(2022•湘西州)定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A(﹣3，0)、B(点B在点A右侧)，与y轴的交点分别为G、H(0，﹣1)．

(1)求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

(2)点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】(2022•南通)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点(，)是函数y＝x图象的“阶方点”；点(2，1)是函数y＝图象的“2阶方点”．

(1)在①(﹣2，﹣)；②(﹣1，﹣1)；③(1，1)三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 　   　(填序号)；

(2)若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

(3)若y关于x的二次函数y＝﹣(x﹣n)²﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．

【例3】(2022春•芙蓉区校级期末)在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝

a+3时，函数y有最大值y_max，最小值y_min，设h＝y_max﹣y_min，则称h为y的“极差函数”(此函数为h关于a的函数)；特别的，当h＝y_max﹣y_min为一个常数(与a无关)时，称y有“极差常函数”．

(1)判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应(　　)内画“√”，如果不是，请在对应(　　)内画“×”．

①y＝2x ( 　   　)；

②y＝﹣2x+2 ( 　   　)；

③y＝x² ( 　   　)．

(2)y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；

(3)若，当a≤x≤b(b＝a+3)时，写出函数y＝ax²﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．

【例4】(2022•武侯区校级模拟)【阅读理解】

定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P(x，y)，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．

例如，将点M(m+1，﹣m+1)(m为任意实数)“去隐”的方法如下：

设x＝m+1①，y＝﹣m+1②

由①得m＝x﹣1③

将③代入②得y＝﹣(x﹣1)+1，整理得y＝﹣x+2

则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．

【迁移应用】

在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q(﹣a，﹣a²﹣a+3)(a为任意实数)的运动路径是抛物线．

(1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；

(2)记(1)中抛物线为W(如图)，W与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．

ⅰ)试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；

ⅱ)在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．

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