专题20 二次函数与对称变换综合问题

专题20 二次函数与对称变换综合问题

典例剖析

【例1】(2021秋•开化县月考)定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．

例如：y＝(x﹣h)²﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣(x﹣h)²+k．

(1)请写出抛物线y＝(x﹣2)²﹣4的顶点坐标 　   　，及其“镜像抛物线”y＝﹣(x﹣2)²+4的顶点坐标 　   　．写出抛物线的“镜像抛物线”为 　   　．

(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax²﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．

①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．

②求正方形BB'C'C所含(包括边界)整点个数．(说明：整点是横、纵坐标均为整数的点)

【例2】(2022•巩义市模拟)已知，二次函数y＝ax²+bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于C点，点A的坐标为(﹣1，0)，且 OB＝OC．

(1)求二次函数的解析式；

(2)当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】(2022•济宁二模)如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

(3)图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．

【例4】(2022•合肥四模)已知抛物线L₁：y＝ax²+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3，0)，B(1，0)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L₁对称抛物线L₂的解析式；

(3)在(2)的条件下，点M是x轴上方的抛物线L₂上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．

满分训练

1．(2022•广陵区二模)已知二次函数y＝﹣mx²﹣4mx﹣4m+4(m为常数，且m＞0)．

(1)求二次函数的顶点坐标；

(2)设该二次函数图象上两点A(a，y_a)、B(a+2，y_b)，点A和点B间(含点A，B)的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．

①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；

②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 　   　．

2．(2022•绿园区二模)在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m+3)．其中，m≠0．

(1)当m＝1时．

①该二次函数的图象的对称轴是直线 　   　．

②求该二次函数的表达式．

(2)当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．

(3)若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．

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