专题17 圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题

专题17 圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦模型、米勒最大张角（视角）模型、弧中点模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.阿基米德折弦模型

【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。

折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

【模型证明】

方法1:补短法

如图，延长DB至F，使BF=BA

∵M是的中点       ∴∠MCA=∠MAC=∠MBC

∵M、B、A、C四点共圆  ∴∠MCA+∠MBA=180°

∵∠MBC+∠MBF=180°  ∴∠MBA=∠MBF

∵MB=MB,BF=BA        ∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB   ∴MF=MC

∵MD⊥CF             ∴CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2:截长法

如图，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG   ∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

∵M是的中点  ∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

又∠MGB=∠MCB+∠GMC  ∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC   ∴△MBA≌△MGC(SAS)

∴AB=GC   ∴CD=CG+GD=AB+BD

方法3:垂线法

如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。

∵M是的中点  ∴MA=MC

∵MD⊥BC  ∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCB  ∴△MHA≌△MDC(AAS)  

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB  ∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)

∴HB=BD   ∴CD=AH=AB+BH=AB+BD

例1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，

是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．其部分证明过程如下：

证明：如图2，在上截取，连接，，和．

∵是的中点，∴，

...（仅显示前约 3 页内容）