专题15 二次函数与角综合问题

专题15 二次函数与角综合问题

方法揭秘

二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型：

2.角的数量关系问题

(1)等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决

(2)二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答

(3)角的和差问题

3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答

典例剖析

【例1】(2022•西宁)如图，抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(1，0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．

(1)求抛物线解析式；

(2)连接BE，求△BCE的面积；

(3)抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】(2022•益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣(x﹣m)²+2m²(m＜0)的顶点P在抛物线F：y＝ax²上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

(1)求a的值；

(2)将A，B的纵坐标分别记为y_A，y_B，设s＝y_A﹣y_B，若s的最大值为4，则m的值是多少？

(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】．(2022•鄂尔多斯)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A(，0)，B(3，)两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】(2022•菏泽)如图，抛物线y＝ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)、B(8，0)两点，与y轴交于点C(0，4)，连接AC、BC．

(1)求抛物线的表达式；

(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；

(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．

满分训练

1．(2022•江岸区模拟)已知：抛物线y＝﹣(x+k)(x﹣7)交x轴于A、B(A左B右)，交y轴正半轴于点C，且OB＝OC．

(1)如图1，求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式(不要求写出自变量m的取值范围)；

(3)如图3，在(2)的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标．

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