专题14 二次函数与线段数量关系最值定值问题

专题14 二次函数与线段数量关系最值定值问题

方法揭秘

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．

一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．

典例剖析

【例1】(2022•武汉模拟)抛物线y＝x²﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；

(3)如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．

【例2】(2022•黄石)如图，抛物线y＝﹣x²+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．

(1)A，B，C三点的坐标为 　   　，　   　，　   　．

(2)连接AP，交线段BC于点D，

①当CP与x轴平行时，求的值；

②当CP与x轴不平行时，求的最大值；

(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

【例3】(2022•河南三模)如图，抛物线y＝ax²+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是抛物线y＝ax²+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．

①请用含m的代数式表示线段DF的长；

②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．

【例4】(2021•大庆)如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax²+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G

到直线y＝﹣2的距离总相等．

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线y＝ax²+bx+c交于M，N两点．

证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；

(3)点C(3，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

满分训练

1．(2020•道里区二模)已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣+bx+3交x轴于A、B两点(点B在点A的右边)交y轴于点C，OB＝3OC．

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