专题13 二次函数与胡不归型最值问题

专题13 二次函数与胡不归型最值问题

方法揭秘

胡不归问题：

古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在A地当学徒的小伙子，当他得知在家乡B地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程赶路，由于思念心切，他挑选了全是砂砾地带的直线路径AB（如图），他认为走近路必定是最省时，因此，他放弃了沿驿道AC先走一程的想法。当他气喘吁吁地来到父亲跟前时，老人刚刚咽气，小伙子不禁失声痛哭。邻舍闻声前来劝慰，有人告诉小伙子，老人弥留之际还不断喃喃的叨念“胡不归？胡不归？…”并且怜惜的问道：“你为什么不向掌柜借用一下马车，沿驿道先走一程呢？”

由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门，这是否有可能呢？若有可能，则应该选择一条什么样的路线呢？这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题。

此问题可以转化为数学问题，设在驿道上行走的速度是砂砾地带的两倍，在驿道的何处拐弯，到家时间最短？

模型分析：“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路． 

如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．

过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明  如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．

由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．

典例剖析

【例1】(2022•济南)抛物线y＝ax²+x﹣6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的表达式和t，k的值；

(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值．

【例2】(2022•宜宾)如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A(3，0)、B(﹣1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，其顶点为点D，连结AC．

(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；

(3)在(2)的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．

【例3】(2022•东西湖区模拟)如图1，抛物线y＝x²+(m﹣2)x﹣2m(m＞0)与x轴交于A，B两点(A在B左边)，与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．

(1)求m的值；

(2)在(1)的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求(t﹣1)²的值．

(3)如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．

【例4】(2022•成都模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax²+bx+c(a≠0)的图象与y轴，x轴分别相交于A(0，2)，B(2，0)，C(4，0)三点，点D是二次函数图象的顶点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S_△ACP＝S_△ACB，求点P的坐标；

(3)M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值．

满分训练

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