专题12 二次函数与线段和将军饮马型最值问题

专题12 二次函数与线段和(将军饮马型)最值问题

方法揭秘

二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有：

模型1：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．

作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'

模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．

连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB

模型3：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大．

作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB'

模型4：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″

模型5：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．

作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C

典例剖析

【例1】(2022•黑龙江)如图，已知抛物线y＝(x﹣2)(x+a)(a＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

(1)若抛物线过点M(﹣2，﹣2)，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，解答下列问题；

①求出△BCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．

【例2】(2022•甘肃)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x+3)(x﹣a)与x轴交于A，B(4，0)两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点(点D，E不与点A，B，C重合)．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；

(3)连接BD．

①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；

②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．

【例3】．(2022•达州)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax²+bx+2的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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