专题10 二次函数与圆存在性问题

专题10 二次函数与圆存在性问题

方法揭秘

二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.

二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.

典例剖析

【例1】(2022•闵行区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+4与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．

(1)求抛物线的表达式；

(2)以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．

当⊙G与⊙E内切时．

①试证明EF与EB的数量关系；

②求点F的坐标．

【例2】(2022•福建模拟)如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C(2，﹣4)在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点D(2，0)的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

【例3】(2022•武汉模拟)已知抛物线y＝﹣2x²+bx+c(c＞0)．

(1)如图1，抛物线与直线l相交于点M(﹣1，0)，N(2，6)．

①求抛物线的解析式；

②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；

(2)如图2，已知抛物线y＝﹣2x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D(0，n)四点在同一圆上，求n的值．

【例4】(2022•上海模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²﹣3ax+2(a＜0)交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．

(1)求线段PA的长；

(2)如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；

(3)以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．

满分训练

1．(2021•广元)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：

x

…

﹣1

0

1

2

3

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