专题09 最值模型-将军饮马

专题09 最值模型---将军饮马

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）

【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：                              （2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。                   上图中A’是A关于直线m的对称点。

例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．

例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．

例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P

，则MN+NP的最小值为________．

例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】

古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上，

（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．

【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．

【模型应用】（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．

解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________．

（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____．

（4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________．

模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）

【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．

问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．

          图1                         图2                         图3 

【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2022·重庆中考模拟）如图，已知直线l₁∥l₂，l₁、l₂之间的距离为8，点P到直线l₁的距离为6，点Q到直线l₂的距离为4，PQ=，在直线l₁上有一动点A，直线l₂上有一动点B，满足AB⊥l₂，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．

例2．（2022·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   )

A．2 B．1+3 C．3+ D．

模型3.修桥选址模型

【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

（1）点A、B在直线m两侧：                        （2）点A、B在直线m同侧：

               如图1                                             如图2

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