专题08 角平分线的基本模型二非全等类

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）

【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD，CD是角平分线.

结论：                     

1．（2022·广东·九年级专题练习）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（     ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．

(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；

(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．

3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　 　°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　 °．

4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题

(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝　　；如图2，∠O＝　　；如图3，∠O＝　　；(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A(3)如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB

的平分线交于点O₁O₂，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．

模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线））]）

【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

【模型图示】已知如图1，为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题. 

 如图1    如图2

已知如图2，OC平分，点D是OA上一点，过点D作DE//OC交OB的反向延长线于点E，则OD=OE.

注意：平行线、角平分线、等腰△知二推一即：

①AD∥BC+AC是∠BAD的角平分线△ABC是等腰三角形；

②AD∥BC+△ABC是等腰三角形AC是∠BAD的角平分线；

③AC是∠BAD的角平分线+△ABC是等腰三角形AD∥BC。

常见模型：

1．（2022·安徽·二模）如图，在中，与的平分线BD，CD交于点D，过点D作，分别交AB，AC于点E，F．若，，，则AE的长为（    ）

A．2.5 B．4.5 C．3.75 D．6.75

2．（2022·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有___．（填正确的序号）

4．（2022·沈阳市九年级专项训练）已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB 、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF

4．（2022·河南南阳·三模）阅读理解：如图（1），△ABC中，以B为圆心，以适当长为半径画弧，与BC和BA分别交于点X，Y再分别以点X，Y为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD与AC交干点E，过点E作交AB于．

观察思考：依据上述操作可，①∠ABE与∠CBE的大小关系为_________；②BF与EF的数关系为________．

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