专题08 二次函数与矩形存在性问题

专题08 二次函数与矩形存在性问题

考法综述

1.矩形的判定:

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)对角线相等的平行四边形是矩形；

(3)有三个角为直角的四边形是矩形．

2.题型分析

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：

因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．

确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：

同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.

典例剖析

【例1】．(2022•泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax²+x+c经过A(﹣2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C．

(1)求a，c的值；

(2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；

(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】(2022•绥化)如图，抛物线y＝ax²+bx+c交y轴于点A(0，﹣4)，并经过点C(6，0)，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；

(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

【例3】(2022•黔东南州)如图，抛物线y＝ax²+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】．(2022•梁山县一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c(a＜0)与x轴交于A(﹣2，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线y＝kx+1(k＞0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

满分训练

1．(2022•武功县模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线L₁：y＝﹣x²+bx+c(b、c为常数)与x轴交于A(﹣6，0)、B(2，0)两点．

(1)求抛物线L₁的函数表达式；

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