专题07 二次函数与菱形存在性问题

专题07 二次函数与菱形存在性问题

考法综述

我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是

①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.

在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.

二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.

典例剖析

【例1】(2020•雁塔区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，6)，点E为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

(2)若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，当以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，

【例2】(2021•齐齐哈尔三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²﹣x+c(a≠0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解(OA＜OB)，点D(2，m)在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式及m的值；

(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝　   　；

(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了 　   　个单位；

(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．

【例3】(2022•烟台)如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax²+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)求抛物线的表达式；

(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】(2022•武昌区模拟)如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线y＝﹣x²+bx+c过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N．

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，

使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；

(3)如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EF∥BC，直线EF与抛物线交于点E，F，与直线y＝﹣4x交于点H，若，求点G的坐标．

满分训练

1．(2022•蒲城县一模)如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝ax²+3x+c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．(2022•抚顺县二模)如图，抛物线y＝ax²+bx+6(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；

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