专题06 相似模型-母子型共角共边模型和AX字型

专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A（X）字型

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的母子模型与A（X）字模型．

模型1.“母子”模型(共边角模型)

【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。

 “ 母子”模型（斜射影）           双垂直（射影定理）        “母子型”的变形

斜射影结论：

△ABD∽△ACB，AB²＝AD·AC.

双垂直结论：

①△ABD∽△ACB，AB²＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC²＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB²＝BD·BA.

1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：

；

(3)如图2，过作于点，若，，求的长．

3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ）

A．2    B．    C．2或

（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．

求证：与互为母子三角形．

（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．

4．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．

（1）图1中共有　   　对相似三角形，写出来分别为　 （不需证明）：

（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：

（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1

个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

模型2. “A”字模型

【模型解读与图示】

“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．

1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S_△ADE＝2，则S_△ABC＝_____． 

2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．(1)若，求线段AD的长．(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．

3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．

(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．

(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．

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