专题05 二次函数与面积最值定值问题

专题05 二次函数与面积最值定值问题

考法综述

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．

方法揭秘

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：

如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．

如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．

图1                               图2                          图3

计算面积长用到的策略还有：

如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图5，同底三角形的面积比等于高的比．

如图6，同高三角形的面积比等于底的比．

图4                          图5                       图6

典例剖析

【例1】(2022•青海)如图1，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点，是否存在满足S_△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(请在图2中探讨)

【例2】(2022•随州)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+c(a＜0)与x轴分别交于点A和点

B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】(2022•成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3(k≠0)与抛物线y＝﹣x²相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为B'．

(1)当k＝2时，求A，B两点的坐标；

(2)连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；

(3)试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【例4】(2022•岳阳)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F₁：y＝x²+bx+c经过点A(﹣3，0)和点B(1，

0)．

(1)求抛物线F₁的解析式；

(2)如图2，作抛物线F₂，使它与抛物线F₁关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F₂的解析式；

(3)如图3，将(2)中抛物线F₂向上平移2个单位，得到抛物线F₃，抛物线F₁与抛物线F₃相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．

...（仅显示前约 3 页内容）