专题05 一线三等角K型图模型从全等到相似

专题05 一线三等角（K型图）模型（从全等到相似）

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K型图）模型（全等模型）

【模型解读】

在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】

同侧型一线三等角（常见）：

    锐角一线三等角             直角一线三等角（“K型图”）          钝角一线三等角

条件：+ CE=DE

证明思路：+任一边相等

异侧型一线三等角：

锐角一线三等角                   直角一线三等角                  钝角一线三等角

条件：+ 任意一边相等

证明思路：+任一边相等

1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．

(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；

(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．

2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：

①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______；

②如图2，为正三角形，，则________；

③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________．

【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________．

【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长．

模型2.一线三等角模型（相似模型）

【模型解读与图示】

“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．

1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：

（1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；

（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？

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