专题04 二次函数与相似问题

专题04 二次函数与相似问题

考法综述

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。    

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。  

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

方法揭秘

相似三角形常见的判定方法：

(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．

如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．

应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)．

还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

典例剖析

【例1】(2022•贵港)如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A(0，3)和B(，﹣)两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；

(3)若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．

【例2】．(2022•衡阳)如图，已知抛物线y＝x²﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．

(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；

(2)若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；

(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】．(2022•桂林)如图，抛物线y＝﹣x²+3x+4与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ(点P位于点Q的上方)在x轴上方的抛物线对称轴上运动．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；

(2)求CP+PQ+QB的最小值；

(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．

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