专项15-分式的运算-重难点题型

分式的运算-重难点题型

【知识点1 分式的加减】

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：；

②异分母分式的加法：。

注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

【题型1  分式的加减】

【例1】（盐城月考）化简：

（1）；

（2）．

【变式1-1】当m＞﹣3时，比较与的大小．

【变式1-2】（乐山）已知，求A、B的值．

【变式1-3】（河南期末）若a＞0，M，N

（1）当a＝1时，M＝　　，N＝　　；当a＝3时，M＝　　，N＝　　；

（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．

【题型2 分式与整式的混合运算 】

【例2】（嘉兴一模）计算x+2时，两位同学的解法如下：

解法一：x+2

解法二：x+2

（1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．

（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．

【变式2-1】（梧州）计算：（x﹣2）²﹣x（x﹣1）．

【变式2-2】（昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题．

我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式是假分式；，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．

例如：，

．

解决下列问题：

（1）将分式化为整式与真分式的和的形式；

（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．

【变式2-3】（玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”

《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．

阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．

将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：xx﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）假分式可化为带分式　   　形式；

（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；

（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11，则m²+n²+mn的最小值为　   　．

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