专项13-等边三角形-重难点题型

等边三角形-重难点题型

【知识点1 等边三角形】

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.

【题型1  等边三角形的性质（角度问题）】

【例1】（赫山区期末）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，求∠ACE的度数．

【变式1-1】（河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．

【变式1-2】（肥东县期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．

（1）求∠EFB的度数；

（2）求证：DE＝2DF．

【变式1-3】（郑州期末）如图，已知∠AOB＝120°，△COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60°的三角形），OM平分∠BOC．

（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOM＝　   　；

（2）如图2，当∠AOC＝100°时，∠DOM＝　   　；

（3）如图3，当∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，求∠DOM的度数，请借助图3填空．

解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝120°，

所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣120°，

因为OM平分∠BOC，

所以∠MOC＝　 　∠BOC＝　     　（用α表示），

因为△COD为等边三角形，

所以∠DOC＝60°，

所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC＝　   　（用α表示）．

（4）由（1）（2）（3）问可知，当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，直接写出∠DOM的度数．（用β来表示，无需说明理由）

【题型2  等边三角形的性质（规律问题）】

【例2】（渠县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A₁，A₂，A₃，…在射线ON上，点B₁，B₂，B₃，…在射线OM上，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…均为等边三角形，若OA₁＝2，则△A₆B₆A₇的边长为（　　）

A．16 B．32 C．64 D．128

【变式2-1】（新化县期末）如图，∠MON＝30°，点A₁，A₂，A₃，…在射线ON上，点B₁，B₂，B₃，…在射线OM上，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…均为等边三角形．若OA₁＝1，则△A_nB_nA_n+1的边长为　　．

【变式2-2】如图，等边△A₁C₁C₂的周长为1，作C₁D₁⊥A₁C₂于D₁，在C₁C₂的延长线上取点C₃，使D₁C₃＝D₁C₁，连接D₁C₃，以C₂C₃为边作等边△A₂C₂C₃；作C₂D₂⊥A₂C₃于D₂，在C₂C₃的延长线上取点C₄，使D₂C₄＝D₂C₂，连接D₂C₄，以C₃C₄为边作等边△A₃C₃C₄；…且点A₁，A₂，A₃，…都在直线C₁C₂同侧，如此下去，则△A₁C₁C₂，△A₂C₂C₃，△A₃C₃C₄，…，△A_n∁_nC_n+1的周长和为　   　．（n≥2，且n为整数）

【变式2-3】（汉阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2020，1）的是点　   　．

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