专项13-等腰三角形-重难点题型

等腰三角形-重难点题型

【知识点1 等腰三角形】

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.

【题型1  等腰三角形的性质（角度问题）】

【例1】（绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．

（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；

（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．

【变式1-1】（益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．

（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；

（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．

【变式1-2】（宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．

（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；

（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；

（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．

【变式1-3】（仓山区期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．

（1）求证：∠ABD＝∠ADC；

（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；

（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．

【题型2  等腰三角形的性质（周长问题）】

【例2】（罗庄区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为　   　．

【变式2-1】（卧龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为　 　cm．

【变式2-2】（延津县期中）一个等腰三角形的周长为28cm．

（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；

（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长．

【变式2-3】（东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．

（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；

（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．

【题型3  等腰三角形的性质（多结论问题）】

【例3】（商河县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）

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