09 锐角三角函数公式定理结论图表

知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）

考点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.

同理；；．
要点诠释：
　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
　　(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．

典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b²＝ac，则sinA的值为 　．　．

【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．

【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，

∴c²＝a²+b²，

∵b²＝ac，

∴c²＝a²+ac，

等式两边同时除以ac得：

＝+1，

令＝x，则有＝x+1，

∴x²+x﹣1＝0，

解得：x₁＝，x₂＝（舍去），

当x＝时，x≠0，

∴x＝是原分式方程的解，

∴sinA＝＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

考点二、特殊角的三角函数值

　　　利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：

要点诠释：
　　(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
　 　　、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（　　）

A．2 B．1 C． D．

【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．

【解答】解：tan45°的值等于1，

故选：B．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

考点三、锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；
　　(2)平方关系：；
　　(3)倒数关系：或；
　　(4)商数关系：．
　　要点诠释：
　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
考点四、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
　　①三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理).
　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　　③边角之间的关系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h为斜边上的高.
要点诠释：
　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.
　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

考点五、解直角三角形的常见类型及解法

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