05 图形及其变换公式定理结论图表

知识必备05图形及其变换（公式、定理、结论图表）

考点一、平移变换

1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．

【要点诠释】

（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；

（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；

（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．

2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．

【要点诠释】

（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；

（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．

典例1:（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 　（5，2）　．

【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．

【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），

故答案为：（5，2）．

【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

典例2：（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A₁（1，1）；把点A₁向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A₂（﹣1，3）；把点A₂向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A₃（﹣4，0）；把点A₃向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A₄（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A₁₀的坐标为 　（﹣1，11）　．

【分析】根据题目规律，依次求出A₅、A₆……A₁₀的坐标即可．

【解答】解：由图象可知，A₅（5，1），

将点A₅向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A₆（﹣1，7），

将点A₆向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A₇（﹣8，0），

将点A₇向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A₈（0，﹣8），

将点A₈向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A₉（9，1），

将点A₉向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A₁₀（﹣1，11），

故答案为：（﹣1，11）．

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．

考点二、轴对称变换

1．轴对称与轴对称图形
　轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.

　轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．轴对称变换的性质
　　①关于直线对称的两个图形是全等图形.
　　②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
　　③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
　　④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
3．轴对称作图步骤
　　①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．
　　②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.

【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.

典例3：（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．

【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，

∵A与A'关于BC对称，

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