01-绝对值中的四类最值模型

七年级上册数学绝对值专题

【四类最值模型】

模型1  |x-a|+|x-b|的最小值模型

【模型解读】式子 |x-a|+|x-b|在a≤x≤b时，取得最小值为|x-a|。

【最值原理】|x-a|+|x-b|目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：

分类情况

图示

 |x-a|+|x-b|取值情况

当x＜a时

无法确定

当a≤x≤b时

 |x-a|+|x-b|的值为定值，即为|a-b|

当x＞b时

无法确定

例1．（2023秋·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．

回答下列问题：(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是____，数轴上表示和3的两点之间的距离是____；

(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_________；

(3)①找出所有使得的整数x；②求的最小值．

例2．（2023秋江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？

（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3

∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，

∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3

∴的最小值是3

请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：

(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；

(3)当a为何值时，代数式的最小值是2

变式1．（2023秋浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：

①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；

②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；

③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，

综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　

回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；

...（仅显示前约 3 页内容）