01-有理数及其运算-八大题型拔尖

有理数及其运算八大题型总结（拔尖篇）

【题型1  数轴中的新定义问题】

【例1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点．

(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）

(2)若点M、P表示的数分别为、，且P是的美好点，则点N为 ．

(3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为的美好点？

【变式1-1】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．

材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．

(1) ______，=______；

(2)求的值：

(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．

【变式1-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．

例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．

(1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；

(2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：

①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；

②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．

【变式1-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）已知为数轴上三点，当点到点的距离是点到点的距离3倍时，则称点是的三倍点，不是的三倍点．若数轴上点在原点的左边，且到原点的距离为1，点在原点的右边，且到点的距离为4．

(1)直接写出两点表示的数；

(2)若点是的三倍点，求点表示的数；

(3)若点在点的左边，是否存在使得中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点表示的数；若不存在，请说明理由．

【题型2  数轴中的动点问题】

【例2】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，8．到的距离可以用表示，计算方法：表示的数8，表示的数，8大于，用．用式子表示为：．根据阅读完成下列问题：

(1)填空：______，______．

(2)若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．

(3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点移动6秒时，点才从点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒，写出、两点间的距离（用含的代数式表示）．

【变式2-1】（2023春·吉林·七年级校联考期末）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足.

（1）求点与点在数轴上对应的数和；

（2）现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒.

① 若点和点相遇于点, 求点在数轴上表示的数；

② 当点和点相距个单位长度时，直接写出的值.

【变式2-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）已知，在数轴上对应的数分别用，表示，且点距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点，是数轴上的一个动点．

(1)在数轴上标出、的位置，并求出、之间的距离；

(2)已知线段上有点且，当数轴上有点满足时，求点对应的数；

(3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点能移动到与或重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?

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