重点几何模型-截长补短-专题训练

八上数学重点几何模型精讲精练

【截长补短模型】

1 截长

定义：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段；

示例剖析

在线段上截取

2 补短

定义：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

延长，使得。

【题型1】 基本模型

【典题1】如图所示，在正方形ABCD中，E是CD上的任意一点，以AE为一边作∠EAF＝45°，射线AF交BC于F点，连接EF，求证：EF＝DE+BF．

【巩固练习】

1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．求证：AB+BD＝AC．

2.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：BC＝AB+DC．

3.如图在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交

AB、AC于E、F两点．连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

4.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．

(1)若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；

(2)连CE，求证：BE＝AE+CE．

【题型2】  模型综合练习

【典题1】(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　   　；

(2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以65海里/小时的速度前进，前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

【巩固练习】

1.已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O．

（1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系；

（2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数；

（3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明．

2.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

...（仅显示前约 3 页内容）