等边三角形的性质与判定-十大题型

等边三角形的判定与性质【十大题型】

【题型1  利用等边三角形的性质求值】

【例1】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形中，，与交于点，则       ．

【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期末）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．

(1)求证：；

(2)求的度数．

(3)若，试判断与的位置关系，并说明理由．

【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则   ．

【变式1-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为      ．

【题型2  利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】

【例2】（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，是等边三角形，延长到，使，点是边的中点，连接并延长交于点．

(1)求证：；

(2)连接，求证：．

【变式2-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE．

【变式2-2】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）已知，将等边和一块含有30°角的直角三角板DEF (∠F=30°)如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上．

（1）利用图证明： EF=2AC；

（2）在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2．判断线段EB=AH是否成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

【变式2-3】（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，点D是边上一点．

(1)以为边构造等边（其中点D、E在直线两侧），连接，猜想与的位置关系，并证明你的结论；

(2)若过点C作，在上取一点F，连接、，使得，试猜想的形状，直接写出你的结论．

【题型3  等边三角形的证明】

【例3】（2023春·河南周口·八年级校考期末）在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．

(1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形；

(2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形．

【变式3-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，是的中点，，，，且平分．求证：是等边三角形．补全下面的证明过程及理由．

证明：∵平分（已知），

∴___________（___________）．

∵（已知），

∴__________°．

∵（已知），

∴__________（___________），

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