第22讲 相似三角形中的分类讨论

第22讲：相似三角形中的分类讨论

【应对方法与策略】

由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，函数一般是一次函数和二次函数，几何图形一般是三角形和四边形。

一般有是否存在点P，使得：①△PDE∽△ABC  ②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似。一般以大题为主，也有出现在填空后两题。

函数中因动点产生的相似三角形问题，一般有三个解题过程 ：

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。  

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示 各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

涉及知识点： 全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直角三角形中锐角三角函数，勾股定理，求线段的长，要用到两点间的距离公式。

【多题一解】【一题多解】

一、解答题

1．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期末）如图，已知△ABC中，，，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设点P运动的时间为t．

(1)用含t的代数式表示线段PC的长度．

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等．

2．（2022秋·湖南长沙·八年级期中）在△ABC中，AB=AC=10cm．

（1）如图1，AM是△ABC的中线，MD⊥AB于D点，ME⊥AC于E点，MD=3cm，则ME=     cm．

（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE交AM于点F，试猜想：

①FD       FE（填“>”、“=”或“＜”）；

②AM       DE （填位置关系）．

（3）如图3，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B向C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点P的运动时间为t秒．问：运动时间t为多少时，△BDP与△PQC全等?

3．（2021秋·江苏泰州·九年级姜堰区实验初中校考阶段练习）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，动点E从点D出发，以5cm/s的速度沿着射线DA运动，动点F同时从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点F运动到点B时，两点同时停止运动．

（1）设点E运动的时间为ts，当点E在线段AD上时，请用t的代数式表示AE＝         ；

（2）当t＝s时，

①求证：；

②求证：∽；

（3）是否存在某一时刻，使得△AEF与△DEC相似？如果存在，请直接写出此时t的值．

4．（2021秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的两条直角边，分别在轴和轴上，并且，的长分别是方程的两根，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；同时，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，设点，运动的时间为秒．

（1）求，两点的坐标；

（2）求当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似，并直接写出相应点的坐标；

（3）当时，在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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