第14讲 相似三角形中的一线三等角模型

第14讲：相似三角形中的“一线三等角”模型

【应对方法与策略】

(1)“三垂直”模型

如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.

(2)“一线三等角”模型

如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.

特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

【多题一解】

一、解答题

1．（2022秋·四川内江·九年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）（1）问题

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．

（2）探究

若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．

（3）应用

如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．

2．（2022·四川成都·模拟预测）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．

(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；

(2)连接EF，求∠FEC的正切值；

(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．

3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．

(1)求证：△AEF∽△DCE；

(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．

4．（2022·山东济南·模拟预测）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．

（1）求证：；

（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．

5．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：

第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；

第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；

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