第13讲 相似三角形中的母子双垂直型

第13讲：相似三角形中的“母子(双垂直)”型

【应对方法与策略】

模型展示：

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA²＝AD·AB，BC²＝BD·BA，CD²＝DA·DB.

【多题一解】

一、单选题

1．（2021·江苏南通·统考一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（    ）

A．27 B．26 C．25 D．24

二、填空题

3．（2021·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______．

4．（2021·山东济宁·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF=，则菱形ECGF的另一条对角线EG的长度是_____．

5．（2020·山西·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．

三、解答题

6．（2021秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考期中）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、．

（1）求证：；

（2）连接，若．求证：．

7．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若，求的长．

8．（2020·浙江·九年级期末）如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点．

（1）证明：．

（2）当时，

①求的长度．

②如图2，作平分交于点，连结，求的面积．

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