专题33 圆与新定义综合问题

专题33 圆与新定义综合问题 

典例剖析

【例1】(2022•石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P₁，点P关于y轴的对称点为P₂，称△P₁PP₂为点P的“关联三角形”．

(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；

(2)如图，已知点B(m，m)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；

(3)已知⊙O的半径为r，OP＝2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP₁P₂的取值范围．

【例2】2022•朝阳区二模)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′(A′，B′分别为点A，B的对应点)，若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

(1)如图1，点A₁，B₁的坐标分别为(﹣3，0)，(﹣2，0)，线段A₁B₁到⊙O的“平移距离”为 　   　，点A₂，B₂的坐标分别为(﹣，)，(，)，线段A₂B₂到⊙O的“平移距离”为 　   　；

(2)若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；

(3)如图2，若点A坐标为(1，)，线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形(不需证明)．

【例3】(2022•开福区校级一模)我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．

(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 　   　；(填序号)

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．

(2)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；

(3)如图2，在(2)的条件下，当AF：FG＝2：3时，求∠BED的余弦值．

【例4】(2022•清苑区二模)【问题提出】

如图1，⊙O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙O于P、Q两点(Q在P、H之间)．我们把点P称为⊙O关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为⊙O

关于直线a的“远望数”．

(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0，4)，过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1的⊙O关于直线m的“远点”坐标是 　   　，直线m向下平移 　   　个单位长度后与⊙O相切．

(2)在(1)的条件下求⊙O关于直线m的“远望数”．

【拓展应用】

(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(6，0)，与y轴交于点N，点F坐标为(1，2)，以F为圆心，OF为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，O是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“远望数”是12，求直线l的函数表达式．

满分训练

1．(2022•长沙县校级三模)约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．

(1)如图2，在△ABC中，BC＝AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；

(2)如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．

①求证：直线CA与⊙O相切；

②若⊙O的直径为2，求线段AB的长；(3)已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．

2．(2022•西城区校级模拟)点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是平面直角坐标系中不同的两个点，且x₁≠x₂．若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y₁﹣y₂|＝k|x₁﹣x₂|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k(P，Q)．由定义可知，k(P，Q)＝k(Q，P)．

例：若P(1，0)，Q(3，)，有|0﹣|＝|1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．

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