专题31 三角形与新定义综合问题

专题31 三角形与新定义综合问题

典例剖析

【例1】(2022•淮安区模拟)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：

(1)can30°＝　   　，若canB＝1，则∠B＝　   　°．

(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S_△ABC＝48，求△ABC的周长．

【例2】(2022•柯城区校级三模)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．

【概念感知】

判断：对的打“√”，错的打“×”．

(1)等腰直角三角形是标准三角形． 　   　

(2)顶角为30°的等腰三角形是标准三角形． 　   　

【概念理解】

若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 　   　．

【概念应用】

(1)如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．

(2)若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

【例3】(2020•五华区校级三模)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

【特例探究】

(1)如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝　   　，b＝　   　；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a²+b²＝　   　；

【归纳证明】

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

(3)如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．

【例4】(2020•岳麓区校级二模)定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB²+BC²+CA²叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB²+BC²+CA²．

(1)如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；

(2)如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD

于点O，试探究△ABC的方周长L与AB²之间的数量关系，并加以证明；

(3)如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．

①求证：△ABC是中垂三角形；

②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．

【例5】(2020•安徽模拟)通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图(1)在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：

(1)can30°＝　   　；

(2)如图(2)，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S_△ABC＝24，求△ABC的周长．

...（仅显示前约 3 页内容）