专题24 以三角形为载体的几何综合问题

专题24 以三角形为载体的几何综合问题

典例剖析

【例1】(2022·山东枣庄·中考真题)已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

【例2】(2022·山东菏泽·中考真题)如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．

(1)直接写出CE与AB的位置关系；

(2)如图2，将绕点D旋转，得到(点，分别与点B，E对应)，连接，在旋转的过程中与的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；

(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．

【例3】(2022·山东济南·中考真题)如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F．

①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；

②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

【例4】(2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．

(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 　   　，位置关系是 　   　；

(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．

①(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

②连接DM，求∠EMD的度数；

③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．

【例5】(2022·辽宁大连·中考真题)综合与实践

问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证．

独立思考：

(1)请解答王老师提出的问题．

实践探究：

(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．”

问题解决：

(3)数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在(2)的条件下，若，，，求的长．”

26．(2022·山东烟台·中考真题)

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