专题23 二次函数推理计算与证明综合问题

专题23 二次函数推理计算与证明综合问题

典例剖析

【例1】(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax²+bx+c(a＞0)上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．

(1)当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

(2)点(x₀，m)(x₀≠1)在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x₀的取值范围．

【例2】(2022•绍兴)已知函数y＝﹣x²+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(0，﹣3)，(﹣6，﹣3)．

(1)求b，c的值．

(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

【例3】(2022•青岛)已知二次函数y＝x²+mx+m²﹣3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．

(1)求m的值；

(2)判断二次函数y＝x²+mx+m²﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．

【例4】(2022•杭州)设二次函数y₁＝2x²+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．

(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y₁的表达式及其图象的对称轴．

(2)若函数y₁的表达式可以写成y₁＝2(x﹣h)²﹣2(h是常数)的形式，求b+c的最小值．

(3)设一次函数y₂＝x﹣m(m是常数)，若函数y₁的表达式还可以写成y₁＝2(x﹣m)(x﹣m﹣2)的形式，当函数y＝y₁﹣y₂的图象经过点(x₀，0)时，求x₀﹣m的值．

【例5】(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点(1，1)，(，)，(﹣，﹣)，……都是和谐点．

(1)判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

(2)若二次函数y＝ax²+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(，)．

①求a，c的值；

②若1≤x≤m时，函数y＝ax²+6x+c+(a≠0)的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．

满分训练

1．(2022•瑞安市校级三模)已知抛物线y＝ax²﹣2ax﹣2+a²(a≠0)．

(1)求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；

(2)设点P(m，y₁)，Q(4，y₂)在抛物线上，若y₁＜y₂，求m的取值范围．

2．(2022•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(x₁，y₁)、点B(x₂，y₂)为抛物线y＝ax²﹣2ax+a(a≠0)上的两点．

(1)求抛物线的对称轴；

(2)当﹣2＜x₁＜﹣1且1＜x₂＜2时，试判断y₁与y₂的大小关系并说明理由；

(3)若当t＜x₁＜t+1且t+2＜x₂＜t+3时，存在y₁＝y₂，求t的取值范围．

3．(2022•新野县三模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²﹣4ax+2．

(1)抛物线的对称轴为直线 　   　，抛物线与y轴的交点坐标为 　   　；

(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．

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