专题18 二次函数与旋转变换综合问题

专题18 二次函数与旋转变换综合问题

典例剖析

【例1】(2022•凉山州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A(﹣1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P的坐标；

(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】．(2022•梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x²+bx+c恰好经过这两点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是(0，6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．

【例3】．(2022•辽宁)如图，抛物线y＝ax²﹣3x+c与x轴交于A(﹣4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；

(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．

【例4】．(2022•河池)在平面直角坐标系中，抛物线L₁：y＝ax²+2x+b与x轴交于两点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线L₁的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；

(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动(不与B，D重合)，过点E作EF⊥x轴于点

F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；

(3)若将抛物线L₁绕点B旋转180°得抛物线L₂，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L₂的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

满分训练

1．(2022•碑林区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，﹣6)，顶点为D(﹣2，2)．

(1)求抛物线W₁的表达式；

(2)将抛物线W₁绕原点O旋转180°得到抛物线W₂，抛物线W₂的顶点为D′，在抛物线W₂上是否存在点M，使S_△D′AD＝S_△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．(2022•双流区模拟)如图，抛物线C：y＝ax²+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．

(1)求a的值及顶点D的坐标；

(2)点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C₁，记抛物线C₁的顶点为E，抛物线C₁与x轴的交点为F，G(点F在点G的右侧)．当点P与点B重合时(如图1)，求抛物线C₁的表达式；

(3)如图2，在(2)的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C₁为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C₁是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．

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