专题17 二次函数与公共点及交点综合问题

专题17 二次函数与公共点及交点综合问题

典例剖析

【例1】．(2022•大庆)已知二次函数y＝x²+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x²+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．

(1)求b的值；

(2)①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；

②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；

(3)已知两点A(﹣1，﹣1)，B(5，﹣1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

【例2】．(2022•湖北)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x²﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．

(1)求点B的坐标及直线AC的解析式；

(2)当二次函数y＝x²﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；

(3)平移抛物线y＝x²﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．

【例3】．(2022•张家界)如图，已知抛物线y＝ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；

(2)若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；

(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m(|k|)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．

【例4】．(2022•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣3经过点B(6，0)和点D(4，﹣3)，与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．

(1)①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线AD的函数表达式；

(2)点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S₁，△DEF的面积记为S₂，当S₁＝2S₂时，求点E的坐标；

(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩

下的部分组成新的曲线记为C₁，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C₁沿y轴向下平移n个单位长度(0＜n＜6)．曲线C₁与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．

满分训练

1．(2022•钟楼区校级模拟)如图，已知二次函数y＝x²+mx+m+的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，﹣)，P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线在点A、B之间的部分(含点A、B)沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．

2．(2022•保定一模)如图，关于x的二次函数y＝x²﹣2x+t²+2t﹣5的图象记为L，点P是L上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为(1，0)，(1，1)，连接AB．

(1)若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；

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