专题16 二次函数与动点综合问题

专题16 二次函数与动点综合问题

方法揭秘

二次函数与动点问题的背景是特殊图形,考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质，体现的数学思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.)

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值.

解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题. 根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题.  

典例剖析

【例1】(2022•本溪二模)如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A(3，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；

(3)如图2，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→O→B匀速运动，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，点G在坐标平面内，使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的t值．

【例2】(2022•沈北新区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+6(a≠0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S_△CPQ的最大值及此时点P的坐标；

(3)点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】(2022•三亚模拟)如图1，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴正半轴、y轴分别交于A(3，0)、B(0，3)两点，点P为抛物线的顶点，连接AB、BP．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求∠PBA的度数；

(3)如图2，点M从点O出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时点N从点A出发，沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于点E，NF⊥x轴交抛物线于点F，连接MN、EF．

①当EF∥MN时，求点F的坐标；

②在M、N运动的过程中，存在t使得△BNP与△BMN相似，请直接写出t的值．

【例4】(2021•长沙模拟)在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．

(1)已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．

(2)已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．

①求a：b：c的值；

②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．

(3)在(2)的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ²．

①求y关于t的函数关系式；

②求y的最小值．

满分训练

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