专题11 二次函数与单线段最值问题

专题11 二次函数与单线段最值问题

方法揭秘

1.预备知识：平面直角坐标系中的水平线段与数值线段最值问题．

竖直线段：AB=y1-y2，纵坐标相减，上减下；

水平线段：AB=x2-x1，纵坐标相减，右减左．

2.抛物线中的竖直线段

解题方法：先由A、C左右求出直线AC的解折式，利用点P在批物线上，点Q在直线AC上，PQ∥y轴，设点P的坐标为m，进而得到点P和Q的坐标，两者作差即可得到PQ关于m的二次函数表达式，从而得到PQ的最大值，进而也能求得△APC和四边形ABCP面积的最大值。

3.抛物线中的斜线段最值问题：求PH的最大值（或点P到直线AC的最大距离）

解题方法：利用相似三角形△PQH∽△ACO，得到（常数），进而得到PH关于PQ的数量关系，转化为求kPQ的最大值，或者利用锐角三角函数sin∠PQH=sin∠ACO=．

典例剖析

【例1】(2022•襄阳)在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x²+2mx﹣m²+2与y轴交于点C．

(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．

①求A，B，C，D四点的坐标；

②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；

(2)在y轴上有一点M(0，m)，当点C在线段MB上时，

①求m的取值范围；

②求线段BC长度的最大值．

【例2】(2022•湖州)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．

(1)①求点A，B，C的坐标；

②求b，c的值．

(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M(如图2所示)．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

【例3】(2021•青海)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为(1，0)，抛物线y＝ax²+bx+c经过点A，B，C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)根据图象写出不等式ax²+(b﹣1 )x+c＞2的解集；

(3)点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．

【例4】(2022•雅安)已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象过点A(﹣1，0)，B(3，0)，且与y轴交于点C(0，﹣3)．

(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；

(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．

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