专题09 二次函数与正方形存在性问题

专题09 二次函数与正方形存在性问题

方法揭秘

二次函数与正方形存在性问题

1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：(1)有一个角为直角的菱形；

(2)有一组邻边相等的矩形；(3)对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．

2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：

思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．

思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．

3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．

如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．

典例剖析

【例1】(2022•齐齐哈尔)综合与探究

如图，某一次函数与二次函数y＝x²+mx+n的图象交点为A(﹣1，0)，B(4，5)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　   　；

(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；

(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

【例2】．(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；

(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．

【例3】(2022•海南)如图1，抛物线y＝ax²+2x+c经过点A(﹣1，0)、C(0，3)，并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点P的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP的面积；

(3)点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；

(4)如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G(n，0)，点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．

【例4】(2022•长春)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²﹣bx(b是常数)经过点(2，0)．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0)．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；

(3)若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；

(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．

满分训练

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