专题06 二次函数与平行四边形存在性问题

专题06 二次函数与平行四边形存在性问题

考法综述

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.

方法揭秘

解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.

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典例剖析

【例1】．(2022•娄底)如图，抛物线y＝x²﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；

(2)点P(m，n)(0＜m＜6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．

(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】．(2022•毕节市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D(2，1)，抛物线的对称轴交直线BC于点E．

(1)求抛物线y＝﹣x²+bx+c的表达式；

(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h(h＞0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；

(3)M是(1)中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】．(2022•聊城)如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；

(3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D₁且CD₁＝2CD，得到新抛物线y₁，y₁交y轴于点N．如果在y₁的对称轴和y₁上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．

【例4】．(2022•郴州)已知抛物线y＝x²+bx+c与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．

①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；

②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．

满分训练

1．(2021•滨城区一模)如图，抛物线y＝ax²+bx﹣5(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B(5，0)及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b(k≠0)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

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