专题04 对角互补模型从全等到相似

专题04 对角互补模型（从全等到相似）

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.对角互补模型（全等模型）

【模型解读】

四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等.

【常见模型及结论】

1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.

则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

3）全等型—和：如图3，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.

则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.

1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

（探究发现）（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；

（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．

2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．

（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是　    ．（2）在（1）的基础上，求四边形的面积．

（3）如图3，等边的边长为2，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．

3．（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．

【理解】（1）如图1，，AC平分，求证：．

【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，CD交MA的延长线于点D，CB交射线AN于点B，写出线段AD，AB，AC之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．

【应用】（3）如图3，为等边三角形，，P为BC边的中点，，将绕点P转动使射线PM交直线AC于点M，射线PN交直线AB于点N，当时，请直接写出AN的长．

模型2.对角互补模型（相似模型）

【模型解读】

四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.

【常见模型及结论】

1.对角互补相似 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.

2.相似型—90º

如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝. 结论：CE＝CD·.

1．（2022·黑龙江·鸡西九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ）

A．4 B．6 C． D．

2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．

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