专题03 二次函数与等腰直角三角形问题

专题03 二次函数与等腰直角三角形问题

方法揭秘

二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。

在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则=;

若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则==1.

典例剖析

【例1】(2022•枣庄)如图①，已知抛物线L：y＝x²+bx+c经过点A(0，3)，B(1，0)，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的关系式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围；

(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】(2022•东营)如图，抛物线y＝ax²+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；

(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

【例3】(2022•吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²+bx+c(b，c是常数)经过点A(1，0)，点B(0，3)．点P在此抛物线上，其横坐标为m．

(1)求此抛物线的解析式．

(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．

(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2﹣m．

①求m的值．

②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．

满分训练

1．(2022•石狮市模拟)已知抛物线y＝ax²﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；

(3)直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值．

2．(2022•福建模拟)如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C(2，﹣4)在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点D(2，0)的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

3．(2022•碑林区校级四模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x²+mx+n与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．

...（仅显示前约 3 页内容）