专题02 二次函数与直角三角形问题

专题02 二次函数与直角三角形问题

考法综述

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

方法揭秘

我们先看三个问题：

1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．

图1                      图2                       图3

如图1，点C在垂线上，垂足除外．

如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．

如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．

如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．

我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．

如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．

设OC＝m，那么．

这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．

对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.  

典例剖析

【例1】(2022•滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接AC、BC．

(1)求线段AC的长；

(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；

(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．

【例2】．(2022•辽宁)如图，抛物线y＝ax²﹣3x+c与x轴交于A(﹣4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；

(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．

【例3】．(2022•广安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+x+m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为(0，﹣4)，点C坐标为(2，0)．

(1)求此抛物线的函数解析式．

(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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