专题01 全等模型-倍长中线与截长补短

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型 

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】

1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.

证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；

2、中点型:如图2，为的中点.

证明思路：若延长至点，使得，连结，则;

若延长至点，使得，连结，则.

3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.

证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.

1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：

如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

（2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：

证明∵（已知）∴，（两直线平行，内错角相等）．

在与中，∵，（已证），（已知），

∴，∴（全等三角形的对应边相等）．

（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．

（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．

3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．

【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：．

简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得                   ，在中，                   ，．

【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．

（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长．

（3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_                及位置关系_               ．

模型2.截长补短模型

【模型解读】

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。

截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

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