专题01 二次函数与等腰三角形问题

专题01 二次函数与等腰三角形问题

考法综述

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程(组)、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合。解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类。

方法揭秘

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A(的余弦值)是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；

②如图2，如果BA＝BC，那么；

③如图3，如果CA＝CB，那么．

图1                   图2               图3 

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长(的平方)就可以罗列出来．

，

然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算.

典例剖析

【例1】(2022•百色)已知抛物线经过A(﹣1，0)、B(0，3)、C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：∠BOF＝∠BDF；

(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．

【例2】(2022•河池)在平面直角坐标系中，抛物线L₁：y＝ax²+2x+b与x轴交于两点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线L₁的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；

(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动(不与B，D重合)，过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；

(3)若将抛物线L₁绕点B旋转180°得抛物线L₂，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L₂的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】(2022•山西)综合与探究

如图，二次函数y＝﹣x²+x+4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【例4】(2022•贺州)如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c过点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

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