专项13-线段垂直平分线的性质和判定-七大题型

线段垂直平分线的性质和判定-七大题型

【知识点1  线段垂直平分线的性质】

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

【题型1  线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】

【例1】（南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝　　．

【变式1-1】（潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．

（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．

（2）求证：BF＝AC．

（3）试说明CEBF．

【变式1-2】（庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．

【变式1-3】（海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°．

（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；

（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【题型2  线段垂直平分线的性质在求角中的应用】

【例2】（周村区校级期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　）

A．168° B．158° C．128° D．118°

【变式2-1】（龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，∠A＝α（0°＜α＜90°），

（1）求∠BOC；

（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．

【变式2-2】（西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l₁、l₂相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　）

A．50° B．80° C．90° D．100°

【变式2-3】（金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　    　．

【题型3  线段垂直平分线的性质在实际中的应用】

【例3】（甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处

【变式3-1】（浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点处

B．△ABC三边的垂直平分线的交点处

C．△ABC三条角平分线的交点处

D．△ABC三条高所在直线的交点处

【变式3-2】（武功县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　）

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